Το ανάπτυγμα ενός πολυκύβου στο χώρο των 3 διαστάσεων.
Γενικά ΔΙΑΣΤΑΣΗ ονομάζεται η απόσταση μεταξύ δύο οριακών σημείων και συνεκδοχικά η οποιαδήποτε ενάντια θέση.
Η λέξη προέρχεται από το αρχαίο ελληνικό ρήμα «διίστημι» (= τοποθετούμαι χωριστά, στέκομαι ενάντια, ξεχωρίζω, διαχωρίζομαι).
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ
Τσαρλς Χάουαρντ Χίντον
«Eάν ένα ον είχε τη δυνατότητα να κινείται ανεµπόδιστα στην τέταρτη
διάσταση, τότε θα µπορούσε να εµφανίζεται και να εξαφανίζεται
κατά βούληση».
Πολλά ανήσυχα ελληνικά πνεύματα, από την αρχαιότητα ακόμη, διερωτήθηκαν μήπως μπορεί να υπάρχει κάτι «ψηλότερο» από τον κύβο, με τον ίδιο τρόπο με τον οποίο ο κύβος είναι «ψηλότερος» από το επίπεδο. Αυτή είναι βασικά η ιδέα της τετάρτης διαστάσεως και φαίνεται αρκετά εύλογη και
επιδεχόμενη μαθηματικού προσδιορισμού, έστω και από τρισδιάστατα όντα, σαν και μας.
Η τετάρτη διάσταση είναι ένα θέμα που έχει συγκεντρώσει την προσοχή
όλης της παραεπιστημονικής λογοτεχνικής ανοησίας. Μέντιουμ, αποκρυφιστές,
καφετζούδες, αστρολόγοι, έχουν ξεχυθεί όλοι, με ουρλιαχτά και άναρθρες
κραυγές, για να μας δώσουν τα φώτα τους γι αυτό το θέμα. Όλες αυτές
οι κουταμάρες βέβαια μπορούν να εξαλειφθούν με μία αρχαιοελληνική φράση που έγινε η βάση της σημασιολογικής γλωσσικής επιστήμης: «αρχή σοφίας, ονομάτων επίσκεψις». «Διάσταση» ουσιαστικά, δεν σημαίνει τίποτε παραπάνω από «διεύθυνση».
Όλοι μας ξέρουμε τι σημαίνει η λέξη «διεύθυνση» η οποία και είναι μία
εμπειρία του κοινού καθημερινού μας κόσμου. Οποιαδήποτε θέση ή τοποθεσία προσδιορίζεται εντελώς από τρεις διευθύνσεις ή συντεταγμένες, όπως τις λένε οι μαθηματικοί. Κανείς δεν έχει ανακαλύψει κάποιο μέρος που να
μην είναι προσιτό με κίνηση κατά μήκος μιας ή και των τριών αυτών διευθύνσεων. Έτσι αυτό που έχει σημασία είναι πως υπάρχουν μόνο τρεις στο δικό μας Σύμπαν. Η ανθρώπινη όμως φαντασία υποθέτει ότι μπορεί να υπάρχουν και άλλες «διευθύνσεις» στον πραγματικό χώρο, που για κάποιο λόγο οι αισθήσεις μας, δεν μπορούν να τις αντιληφθούν. Τότε οι «διευθύνσεις» σ’ αυτόν τον χώρο θα οριοθετούν άλλες γεωμετρίες, που θα θεωρούνται
σαν τόσο «ανώτερες» ή πολυπλοκότερες από την στερεομετρία, όσο είναι η στερεομετρία από την επιπεδομετρία.
Με αυτήν την σειρά δηλαδή μπορούμε να μιλάμε για την:
α. μονοδιάστατη ευθεία,
β. το διδιάστατο τετράγωνο,
γ. τον τριδιάστατο κύβο και
δ. τον τετραδιάστατο υπερκύβο.
ΟΙ ΔΟΜΕΣ ΤΕΣΣΑΡΩΝ ΔΙΑΣΤΑΣΕΩΝ
Είναι δυνατό να αποκτήσει οπτική αντίληψη ο ανθρώπινος νους για δομές τεσσάρων διαστάσεων;
Η εμπειρία μας είναι περιορισμένη δυστυχώς στον τρισδιάστατο χώρο και δεν υπάρχει η παραμικρή επιστημονική απόδειξη ότι ο χώρος των τεσσάρων διαστάσεων υπάρχει στην πραγματικότητα.
Επίσης δεν πρέπει να συγχέουμε τον Ευκλείδειο τετραδιάστατο χώρο με τον μη ευκλείδειο τετραδιάστατο χωροχρόνο της θεωρίας της σχετικότητας, στην οποία χειριζόμαστε το χρόνο σαν τέταρτη διάσταση.
ΟΙ ΔΙΑΣΤΑΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ
Στην Γεωμετρία οι διαστάσεις αφορούν τα μετρήσιμα μεγέθη του χώρου που καταλαμβάνει ένα γεωμετρικό σχήμα. Υπό αυτή την έννοια υπάρχει η διάσταση του μήκους, που είναι η απόσταση σημείου από σημείο, του πλάτους, που είναι η κάθετη απόσταση στο μήκος και δίδεται έτσι η έννοια του επιπέδου καθώς και του ύψους, που είναι η κάθετη απόσταση σε επίπεδο και προσδιορίζεται ως τρίτη διάσταση των στερεών και του χώρου.
Εξ αυτών θεωρείται ότι γενικά ο χώρος έχει τρεις διαστάσεις: το μήκος, το πλάτος και το ύψος.
Στην Διαφορική Γεωμετρία ερευνώνται επίσης στο χώρο οι ν διαστάσεις που είναι όμως κατασκευάσματα της ανθρώπινης λογικής, και οι οποίες δεν υποπίπτουν στην ανθρώπινη αντίληψη. Έτσι αν τη λέξη χώρος την παραστήσουμε με το λατινικό γράμμαR τότε το "σημείο" (επειδή δεν έχει διαστάσεις) παρίσταται ως R0 και αποκαλείται "χώρος μηδενικής διάστασης". Η δε γραμμή = R1, ως "χώρος μιας διάστασης", το επίπεδο = R2 ως "χώρος δύο διαστάσεων" και ο όγκος = R3, ως "χώρος τριών διαστάσεων".
Στα μαθηματικά, η διάσταση ενός αντικειμένου είναι εγγενής, ανεξάρτητη ιδιοκτησία του χώρου στον οποίο το αντικείμενο είναι ενσωματωμένο. Για παράδειγμα, ένα σημείο του μοναδιαίου κύκλου στο επίπεδο μπορεί να οριστεί από δύο Καρτεσιανές συντεταγμένες, αλλά μπορεί να γίνει και μόνο με μία συντεταγμένη (την πολική συντεταγμένη γωνίας) οπότε ο κύκλος είναι
μονοδιάστατος παρόλο που υπάρχει στο δισδιάστατο πεδίο. Αυτή η εγγενής κατανόηση της διάστασης είναι από τους κυριότερους τρόπους, με τους οποίους η μαθηματική έννοια της διάστασης διαφέρει από την κοινή χρήση του όρου.
Οι διαστάσεις του Ευκλείδειου n-χώρου En είναι n. Όταν προσπαθούμε να γενικεύσουμε άλλους τύπους του χώρου, βρισκόμαστε αντιμέτωποι με την ερώτηση «τι κάνει το En n-διάστατο;» Μια απάντηση είναι να καλύψουμε μία πεπερασμένη μπάλα στο En με μικρότερες μπάλες ακτίνος ε, έτσι θα χρειαζόταν κάποιος μια σειρά από εnτέτοιες μικρές μπάλες. Αυτή η παρατήρηση μας οδηγεί στον ορισμό της διαστάσεως Μινκόφσκι και της πιο εξελιγμένης μορφής της, την διάσταση Χάουσντορφ, ενώ παράλληλα υπάρχουν και άλλες πιθανές απαντήσεις στην παραπάνω ερώτηση. Για παράδειγμα, τα όρια μιας μπάλας στο En μοιάζουν σε τοπικό επίπεδο, με του En-1 και αυτό οδηγεί στην έννοια της επαγωγικής διάστασης. Αν και αυτές οι έννοιες συμφωνούν στο En, αποδεικνύεται πως διαφοροποιούνται όταν οι χώροι γενικεύονται.
Ένα τεσσεράκτιο (ή κανονικό οκτάχωρο) είναι ένα παράδειγμα τετραδιάστατου αντικειμένου. Ενώ εκτός των μαθηματικών η έκφραση για την διάσταση είναι: «Το τεσσεράκτιο έχει τέσσερις διαστάσεις», στα μαθηματικά οι συνήθεις εκφράσεις είναι «Το τεσσεράκτιο έχει διάσταση 4» ή «Η διάσταση του τεσσερακτίου είναι 4».
Παρά το γεγονός ότι η έννοια των υψηλότερων διαστάσεων πηγαίνει πίσω μέχρι τον Καρτέσιο, η ουσιαστική εξέλιξη πάνω στην γεωμετρία πολλών διαστάσεων ξεκίνησε μόλις τον 19ο αιώνα, με το έργο των Άρθουρ Κέιλι, Γουίλιαμ Ρόουαν
Χάμιλτον, Λούντβιχ Σλάφλι και Μπέρναρντ Ρήμαν. Το "Habilitationsschrift" του Ρήμαν το 1854, η "Theorie der vielfachen Kontinuität" του Σλάφλι το 1852, η ανακάλυψη των των "quaternions" του Χάμιλτον το 1843 και η κατασκευή της Άλγεβρας Κέιλι σηματοδότησαν την αρχή της γεωμετρίας πολλών διαστάσεων.
Η ΦΥΣΙΚΗ ΕΠΙΣΤΗΜΗ ΚΑΙ Ο ΧΡΟΝΟΣ ΣΑΝ ΜΙΑ ΜΗ ΧΩΡΙΚΗ ΔΙΑΣΤΑΣΗ
Η διάσταση του χρόνου αναφέρεται συχνά ως η "τέταρτη διάσταση",
αυτό δεν υπονοεί όμως ότι είναι μια χωρική διάσταση. Η χρονική διάσταση είναι ένας τρόπος για να μετρηθεί μια φυσική μεταβολή. Αντίθετα με τις τρεις χωρικές διαστάσεις, στον χρόνο γίνεται αντιληπτό ότι υπάρχει μόνο μία διάσταση, διότι δεν μπορείς να κινηθείς ελεύθερα στο χρόνο και ουσιαστικά μπορείς να κινηθείς μόνο προς μία κατεύθυνση.
Οι εξισώσεις που χρησιμοποιούνται στη Φυσική δεν αντιμετωπίζουν στην πραγματικότητα τον χρόνο με τον ίδιο τρόπο που συνήθως τον αντιλαμβάνονται οι άνθρωποι. Οι εξισώσεις της κλασικής μηχανικής είναι συμμετρικές ως προς το χρόνο, ενώ στις εξισώσεις της κβαντικής μηχανικής είναι τυπικά συμμετρικές, όταν τόσο ο χρόνος όσο και οι άλλες ποσότητες (όπως το φορτίο και το parity) αντιστρέφονται. Σε αυτά τα μοντέλα, η αντίληψη του χρόνου που ρέει σε μια κατεύθυνση είναι ένα κατασκεύασμα των νόμων της θερμοδυναμικής (αντιλαμβανόμαστε τον χρόνο καθώς αυτός ρέει προς την κατεύθυνση της αύξησης της εντροπίας).
Η πιο γνωστή αντιμετώπιση του χρόνου ως διάσταση είναι του Πουανκαρέ και η ειδική θεωρία της σχετικότητας του Αϊνστάιν (που επεκτάθηκε με τη γενική σχετικότητα), η οποία αντιμετωπίζει και αντιλαμβάνεται τον χώρο και τον χρόνο ως συστατικά ενός τεσσάρων διαστάσεων πολυειδές, που είναι γνωστό ως χωροχρόνος, και στην ειδική, ως χώρο Minkowski καθ' υπόθεση.
Κατά τη θεωρία της σχετικότητας οι τρεις διαστάσεις του στερεού εξαρτώνται και από την κίνησή του στον χώρο. Κατ΄ αυτή την έννοια υφίσταται η τέταρτη διάσταση στο χώρο του R4, που λέγεται και "χώρος τεσσάρων διαστάσεων" (στη σχετικότητα η διάσταση αυτή είναι ο χρόνος).
Στην Φυσική και στα Μαθηματικά, η διάσταση ενός χώρου ή αντικειμένου ανεπίσημα, ορίζεται ως ο ελάχιστος αριθμός των συντεταγμένων που απαιτούνται για να καθοριστεί οποιοδήποτε σημείο μέσα σε αυτό. Έτσι, μια γραμμή έχει μία διάσταση, διότι μόνο μία συντεταγμένη είναι απαραίτητη για να προσδιορίζει ένα σημείο σχετικά με αυτό (για παράδειγμα, το σημείο 5 σε μια αριθμημένη γραμμή). Μία επιφάνεια, όπως ένα αεροπλάνο ή η επιφάνεια ενός κυλίνδρου ή σφαίρας, έχει δύο διαστάσεις, επειδή δύο συντεταγμένες χρειάζονται για να καθορίσετε ένα σημείο σε αυτά (για παράδειγμα, για να εντοπίσετε ένα σημείο στην επιφάνεια μιας σφαίρας, θα πρέπει να έχετε τόσο το γεωγραφικό πλάτος, όσο και το γεωγραφικό μήκος του). Το εσωτερικό ενός κύβου, ενός κυλίνδρου ή μιας σφαίρας είναι τρισδιάστατο επειδή τρεις συντεταγμένες χρειάζονται για να εντοπίσετε ένα σημείο μέσα σε αυτούς τους χώρους. Στη φυσική, η διάσταση αναφέρεται στη συστατική δομή όλων των χώρων και τη θέση της στο χρόνο (που είναι αντιληπτή ως μια διάσταση κατά μήκος του άξονα t), επίσης και η χωρική συγκρότηση των αντικειμένων εντός των χώρων (οι δομές που σχετίζονται ταυτόχρονα με τις έννοιες των σωματιδίων και του χώρου, αλληλεπιδρούν με τις σχετικές ιδιότητες της μάζας) και στην περιγραφή τους είναι βασικά σαν μαθηματικές έννοιες. Αυτοί, ή άλλοι άξονες μπορούν να χρησιμοποιηθούν για να ταυτοποιήσουμε μοναδικά ένα σημείο (ή μια δομή σε κάποια στάση της) και τη σχέση του με άλλα αντικείμενα ή μορφές. Φυσικές θεωρίες που συμπεριλαμβάνουν το χρόνο, όπως η γενική θεωρία της σχετικότητας, θεωρούνται ότι δουλεύουν στον 4-διάστατο «χωροχρόνο» (που ορίζεται και ως χώρος Minkowski). Οι μοντέρνες θεωρίες τείνουν να είναι «πολύ-διάστατες»και περιλαμβάνουν την θεωρία κβαντικού πεδίου και την θεωρία των χορδών. Η δήλωση του χώρου στην Κβαντομηχανική είναι ένας λειτουργικός χώρος απείρων διαστάσεων. Η έννοια της διάστασης δεν περιορίζεται σε φυσικά αντικείμενα. Οι πολυδιάστατοι χώροι υπάρχουν στα μαθηματικά και γενικότερα στις επιστήμες για πολλούς λόγους, συχνά ως χώροι διαμόρφωσης όπως η Χαμιλτονιανή ή Λαγκρανζιανή μηχανική. Αυτοί οι αφηρημένοι χώροι είναι ανεξάρτητοι του φυσικού χώρου στον οποίο ζούμε.
Στη φυσική, οι τρεις διαστάσεις του χώρου και η μία του χρόνου είναι ο αποδεκτός κανόνας. Ωστόσο, υπάρχουν θεωρίες που προσπαθούν να ενοποιήσουν τις θεμελιώδεις δυνάμεις με την εισαγωγή περισσότερων διαστάσεων.
Η θεωρία Υπερχορδών, η θεωρία Μεμβρανών και η θεωρία χορδής Μποζονίων, αντίστοιχα, θεωρούν δεδομένο ότι ο φυσικός χώρος έχει 10, 11 και 26 διαστάσεις.
Αυτές οι πρόσθετες διαστάσεις λέγεται ότι είναι χωρικές.
Ωστόσο, αντιλαμβανόμαστε μόνο τρεις χωρικές διαστάσεις μέχρι σήμερα.
Μια πιθανή εξήγηση που έχει προταθεί είναι ότι ο χώρος λειτουργεί σε υποατομικό επίπεδο, ενδεχομένως στο επίπεδο της κλίμακας της Κουάρκ/χορδής ή κάτω από αυτό.
Μια ανάλυση των αποτελεσμάτων από το Large Hadron Collider το Δεκέμβριο του 2010 περιορίζει σοβαρά τις θεωρίες με μεγάλες πρόσθετες διαστάσεις.
Άλλες φυσικές θεωρίες που έχουν εισαχθεί για επιπλέον διαστάσεις του χώρου είναι:
- Η "Kaluza-Klein θεωρία" εισάγει επιπλέον διαστάσεις για να εξηγήσει τις θεμελιώδεις δυνάμεις εκτός της βαρύτητας (αρχικά μόνο του ηλεκτρομαγνητισμού).
- Η "Μεγάλη επιπλέον διάσταση" και το μοντέλο "Randall-Sundrum" προσπαθούν να εξηγήσουν την αδυναμία της βαρύτητας. Αυτό είναι επίσης ένα χαρακτηριστικό της Κοσμολογίας Βράνης.
- Η "Συμπαντική επιπλέον διάσταση".
ΜΙΑ ΠΡΟΣΠΑΘΕΙΑ ΓΙΑ ΝΑ ΑΝΤΙΛΗΦΘΟΥΜΕ ΤΟΝ ΧΩΡΟ ΤΩΝ ΤΕΣΣΑΡΩΝ ΔΙΑΣΤΑΣΕΩΝ
ΟΙ ΑΠΛΕΣ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥ ΥΠΕΡΚΥΒΟΥ
Υπάρχει η πιθανότητα ότι θα μπορούσε κάποιος με κατάλληλη μαθηματική εκπαίδευση να αναπτύξει την ικανότητα να φαντάζεται τον τετραδιάστατο
κύβο.
Προβολή τον κύβου στο επίπεδο.
Αν κρατήσετε το συρμάτινο σκελετό ενός κύβου έτσι ώστε το φως να ρίχνει τη σκιά του πάνω σε μια επίπεδη επιφάνεια, μπορείτε στρέφοντας το, να δημιουργείτε κάθε φορά διαφορετικά σχέδια με τις σκιές. Αν το φως έρχεται από ένα σημείο κοντά στον κύβο, τον οποίο κρατάτε με ένα συγκεκριμένο τρόπο, σχηματίζεται το σχέδιο
που φαίνεται στην παραπάνω εικόνα.
Αυτό το επίπεδο σχήμα έχει όλες τις τοπολογικές ιδιότητες που έχει και ο
συρμάτινος κυβικός σκελετός. Μια μύγα για παράδειγμα δεν μπορεί να περπατήσει κατά μήκος όλων των ακμών του κύβου με συνεχή τρόπο ώστε να μη διέλθει από μια ακμή δύο φορές, πράγμα πουσυμβαίνει επίσης με την προβολή του στο επίπεδο.
ΟΙ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥ ΥΠΕΡΚΥΒΟΥ
ΜΕΛΕΤΗ ΜΕ ΕΝΟΡΑΤΙΚΟ ΚΑΙ ΜΕ ΑΝΑΛΟΓΙΚΟ
ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟ ΤΡΟΠΟ
Ακριβής μελέτη των σχημάτων σε τέσσερεις διαστάσεις μπορεί να γίνει μόνο με την προϋπόθεση ενός συστήματος αξιωμάτων για τέσσερεις διαστάσεις ή δουλεύοντας αναλυτικά με τις ω, χ, ψ, z, εξισώσεις του συστήματος των τεσσάρων συντεταγμένων.
Ο τετραδιάστατος υπερκύβος είνα ένα σχήμα τεσσάρων διαστάσεων,
τόσο απλό, ώστε να μπορούμε να μαντέψουμε πολλές από τις ιδιότητες
του με ενορατικό ή και με αναλογικό τρόπο σκέψης.
Ένα μοναδιαίο ευθύγραμμο τμήμα έχει δύο άκρα.
Όταν μετακινηθεί ώστε να δημιουργήσει ένα τετράγωνο, τα άκρα του έχουν αρχικές και τελικές θέσεις και γι' αυτό ο αριθμός των κορυφών του τετραγώνου είναι διπλάσιος από τον αριθμό των άκρων του ευθυγράμμου τμήματος ή με άλλα λόγια έχει τέσσερα άκρα. Τα δύο κινούμενα άκρα του τμήματος δημιουργούν δύο γραμμές,
αλλά το μοναδιαίο ευθύγραμμο τμήμα έχει μια αρχική και μια τελική θέση ώστε να πρέπει να προσθέσουμε δύο ακόμη ευθύγραμμα τμήματα για να προκύψουν τα τέσσερα ευθύγραμμα τμήματα που ορίζουν τα όρια του τετραγώνου.
Το ίδιο συμβαίνει, όταν το τετράγωνο μετακινείται ώστε να δημιουργήσει έναν κύβο, οι τέσσερεις κορυφές του έχουν αρχική και τελική θέση και γι' αυτό πρέπει να πολλαπλασιάσουμε το τέσσερα επί δύο, ώστε να βρούμε τον αριθμό των οκτώ κορυφών του κύβου. Κατά την κίνηση της καθεμιά από τις τέσσερεις κορυφές δημιουργεί ένα ευθύγραμμο τμήμα, αλλά σ' αυτά τα τέσσερα ευθύγραμμα τμήματα θα πρέπει να προσθέσουμε και τα ευθύγραμμα τμήματα-πλευρές του τετραγώνου στην αρχική και τελική του θέση. Αυτό σημαίνει ότι έτσι παίρνουμε τις δώδεκα ακμές
του κύβου. Επίσης οι τέσσερεις πλευρές του τετραγώνου κινούμενες δημιουργούν τέσσερεις νέες τετράγωνες επιφάνειες, οι οποίες, όταν προστεθούν στις δύο της αρχικής και τελικής θέσης, δίνουν τις έξι έδρες του κύβου.
Ας υποθέσουμε τώρα ότι «σπρώχνουμε» τον κύβο κατά μια μονάδα μήκους πάνω στη διεύθυνση του τέταρτου άξονα, ο οποίος είναι κάθετος στους άλλους τρεις.
Η διεύθυνση αυτή δεν είναι δυνατόν να σχεδιαστεί, επειδή είμαστε «παγιδευμένοι» στον τρισδιάστατο χώρο.
Κάθε κορυφή πάλι του κύβου έχει αρχική και τελική θέση, με αποτέλεσμα οι κορυφές του τετραδιάστατου σχήματος που προκύπτει, να είναι 2Χ8=16
Κάθε κορυφή δημιουργεί κατά την κίνηση της ένα ευθύγραμμο τμήμα. Σ' αυτές
όμως τις 8 νέες ακμές πρέπει να προσθέσουμε και τις 12 της αρχικής όπως και τις 12 της τελικής θέσης, πράγμα που σημαίνει ότι ο υπερκύβος έχει 8+12+12 = 32 ακμές. Κάθε μια από τις 12 ακμές του κύβου δημιουργεί ένα τετράγωνο. Στις 12 έδρες που σχηματίζονται, πρέπει να προσθέσουμε τις 6 έδρες της αρχικής όπως και τις 6 έδρες της τελικής θέσης του κύβου, πράγμα που σημαίνει ότι ο αριθμός των εδρών της «υπερεπιφάνειας» του υπερκύβου είναι: 12 + 6+6=24.
Είναι λάθος να υποθέσουμε ότι ο τετραδιάστατος υπερκύβος ορίζεται από αυτές τις εικοσιτέσσερεις έδρες. Τα εικοσιτέσσερα αυτά τετράγωνα απλά σχηματίζουν το σκελετό του υπερκύβου με τον ίδιο τρόπο που οι ακμές του κύβου σχηματίζουν το δικό του σκελετό.
Ένας κύβος ορίζεται από τετραγωνικές έδρες και ένας υπερκύβος από κυβικές.
Όταν μετακινείται ο κύβος, κάθε ένα από τα τετράγωνα που αποτελούν τις έδρες του, μετακινείται κατά μια μονάδα μήκους, πάνω σε μια διεύθυνση που αδυνατούμε να φανταστούμε, κάθετη στην ίδια έδρα. Με αυτό τον τρόπο
δημιουργείται ένας νέος κύβος. Αν εξαιρέσουμε τους έξι κύβους, που δημιουργούνται από την μετακίνηση των έξι εδρών του κύβου, έχουμε και έναν κύβο στην αρχική θέση, όπως επίσης και έναν κύβο στην τελική θέση.
Αυτοί τελικά οι οκτώ κύβοι αποτελούν την «υπερεπιφάνεια» του υπερκύβου.
Σε βιβλία με σπαζοκεφαλιές διατυπώνονται συχνά ερωτήσεις για κύβους και γιατετραδιάστατους
υπερκύβους· δύσκολα όμως βρίσκουν απάντηση.
Η παραπάνω εικόνα μας δείχνει το αποτέλεσμα της προβολής στον τρισδιάστατο χώρο ενός υπερκύβου τεσσάρων διαστάσεων. Αποτελεί μια επίπεδη προβολή ενός τρισδιάστατου προτύπου, που κι αυτό με τη σειρά του είναι η προβολή του υπερκύβου. Όλα τα στοιχεία του υπερκύβου τεσσάρων διαστάσεων έχουν υποστεί προοπτικές αλλοιώσεις. Επίσης έχουν παραμορφωθεί κατά την ίδια προβολή και οι τέσσερεις έδρες-τετράγωνα.
Οι οκτώ κύβοι που αποτελούν την προβολή του υπερκύβου είναι: ο μεγάλος εξωτερικός, ο μικρός στο εσωτερικό του σχήματος και οι έξι παραμορφωμένοι προοπτικά κύβοι που περιβάλλουν το μικρό.Εδώ, οι τοπολογικές
ιδιότητες και των δύο προτύπων είναι ίδιες και πάλι μ' αυτές του αντίστοιχου υπερκύβου.
Σ' αυτή την περίπτωση μια μύγα μπορεί να κινηθεί κατά μήκος όλων των ακμών χωρίς να περάσει από καμιά δύο φορές. (Γενικά η μύγα μπορεί να κάνει κάτι τέτοιο σε υπερκύβους σε χώρους αρτίων διαστάσεων, γιατί μόνο σ' αυτούς καταλήγει σε κάθε κορυφή άρτιος αριθμός ακμών.)
Ένα διάγραμμα που δείχνει τις πρώτες τέσσερις διαστάσεις του χώρου.1: Δύο σημεία Α και Β μπορεί να συνδεθούν με μία γραμμή, δίνοντας ένα νέο ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ.2: Δύο παράλληλα ευθύγραμμα τμήματα ΑΒ και ΓΔ μπορούν να συνδεθούν για να γίνει ένα τετράγωνο ΑΒΓΔ.3: Δύο παράλληλα τετράγωνα ΑΒΓΔ και ΕΖΗΘ μπορούν να συνδεθούν για να γίνει ένας κύβος ΑΒΓΔΕΖΗΘ.4: Δύο παράλληλοι κύβοι ΑΒΓΔΕΖΗΘ και ΙΚΛΜΝΞΟΠ μπορούν να συνδεθούν για να γίνει ένα τεσσεράκτιο ΑΒΓΔΕΖΗΘΙΚΛΜΝΞΟΠ
(Στο τελευταίο σχήμα διακρίνονται οι οκτώ κύβοι, που αποτελούν
προβολή του υπερκύβου τεσσάρων διαστάσεων, από μία συγκεκριμένη γωνία).
ΔΙΑΔΟΧΙΚΑ ΒΗΜΑΤΑ ΔΗΜΙΟΥΡΓΙΑΣ ΕΝΟΣ
ΥΠΕΡΚΥΒΟΥ
Ας ξεκινήσουμε με ένα σημείο που το μετακινούμε σε απόσταση ίση με τη μονάδα μήκους πάνω σε μια ευθεία γραμμή όπως φαίνεται στην εικόνα 23α. Μπορούμε να ορίσουμε όλα τα σημεία σ' αυτό το μοναδιαίο ευθύγραμμο τμήμα αριθμώντας τα δύο άκρα του με 0 και Ι. Τώρα κινούμε το τμήμα σε διεύθυνση κάθετη σ' αυτό επίσης κατά μια μονάδα μήκους (εικόνα 23β). Έτσι γεννιέται ένα μοναδιαίο τετράγωνο. Σημειώνουμε την μία κορυφή του με 0 και με 1 και ονομάζουμε τα άλλα δύο άκρα των τμημάτων, που τέμνονται στην κορυφή 0. Με αυτό το σύστημα των χ και ψ συντεταγμένων μπορούμε να ορίσουμε κάθε σημείο του επιπέδου σαν ένα διατεταγμένο ζεύγος αριθμών.
Είναι επίσης εύκολο να έχουμε οπτική αντίληψη του επομένου βήματος. Σηκώστε προς τα πάνω το τετράγωνο σε απόσταση όση η μονάδα μήκους και σε διεύθυνση κάθετη ταυτόχρονα στις χ και ψ. Το αποτέλεσμα είναι ο μοναδιαίος κύβος (εικόνα 23γ). Με τις χ, ψ, ζ συντεταγμένες κατά μήκος τριών τεμνομένων ακμών του κύβου μπορούμε να ορίσουμε κάθε σημείο του κύβου με μια διατεταγμένη τριάδα αριθμών.
Αν και δεν επαρκούν οι οπτικές μας δυνατότητες, δεν υπάρχει λογική εξήγηση, γιατί δενμπορούμε να υποθέσουμε ότι ο κύβος μετακινείται κατά μια μονάδα μήκους σε διεύθυνση κάθετη και στους τρεις ταυτόχρονα άξονες χ, ψ, ζ (εικόνα 23δ). Ο χώρος που δημιουργείται από μια τέτοιου είδους μετακίνηση είναι έναςμοναδιαίος υπερκύβος, τεσσάρων διαστάσεων με τέσσερεις —ανά δύο κάθετες— ακμές που τέμνονται σε κάθε κορυφή του.
Διαλέγοντας ένα σύνολο ακμών του υπερκύβου όπως τις ω, χ, ψ, z, μπορεί κανείς να ορίσει κάθε σημείο τον με μια διατεταγμένη τετράδα αριθμών.
του και το ξεδιπλώσουμε, θα σχηματισθεί μια ευθεία γραμμή. Κάθε ευθύγραμμο τμήμα περιστρέφεται γύρω από ένα σημείο, ώστε να αναπτυχθεί το τετράγωνο σε ευθεία γραμμή.
Για να ξεδιπλώσουμε με όμοιο τρόπο έναν κύβο, φανταστείτε ότι αποτελείται αυτός από τετράγωνα πλαίσια, ενωμένα στις ακμές τους. Κόβοντας τον κατά μήκος επτά ακμών, μπορούμε να ξεδιπλώσουμε τις τετράγωνες έδρες του ώστε η παράπλευρη επιφάνεια του να αναπτυχθεί στο επίπεδο και έτσι να σχηματιστεί ένα σταυροειδές σχήμα από μοναδιαία τετράγωνα που ενώνονται, όπως φαίνεται στο κάτω μέρος της παραπάνω εικόνας. Σ' αυτή την περίπτωση κάθε έδρα του κύβου περιστρέφεται γύρω από μια ακμή. Κόβοντας διαφορετικές ακμές, μπορούμε να αναπτύξουμε την παράπλευρη επιφάνεια του κύβου στο επίπεδο με διαφορετικούς τρόπους, θεωρώντας ότι κάθε μη συμμετρικό σταυροειδέςανάπτυγμα και το είδωλο του αποτελούν το ίδιο σχήμα.
Πόσοι διαφορετικοί πολυκύβοι (ο καθένας αποτελείται από οκτώ κύβους) δημιουργούνται, αν «ξετυλίξουμε» στον τρισδιάστατο χώρο έναν κοίλο μοναδιαίο τετραδιάστατο υπερκύβο;
Οι οκτώ αυτοί κύβοι θα βρεθούν στον ίδιο τρισδιάστατο χώρο και θα αποτελούν το ανάπτυγμα ενός πολυκύβου που αποτελείται από οκτώ μοναδιαίους τρισδιάστατους κύβους.
Οι οκτώ κύβοι που αποτελούν την υπερεπιφάνεια του τετραδιάστατου μοναδιαίου κύβου,μπορεί να κοπούν και να ξεδιπλωθούν με όμοιο τρόπο. Είναι αδύνατο να γίνει κατανοητό πώς θα μπορούσε να «δει» ένας τετραδιάστατος άνθρωπος (με τρισδιάστατους αμφιβληστροειδείς;) τον κοίλο τετραδιάστατο μοναδιαίο υπερκύβο. Οι οκτώ κύβοι που περιέχονται σ' αυτόν είναι πολύ περισσότερο αληθινές επιφάνειες, με την έννοια ότι ο «υπεράνθρωπος» μπορεί να αγγίζει οποιοδήποτε σημείο μέσα σε οποιονδήποτε κύβο με τη μύτη ενός «μαγικού καρφιού» χωρίς το καρφί να έχει περάσει από οποιοδήποτε άλλο σημείο του κύβου, με τον ίδιο τρόπο που κι εμείς μπορούμε να αγγίξουμε οποιοδήποτε σημείο της έδρας ενός κύβου χωρίς να περνά το καρφί από οποιοδήποτε άλλο σημείο της ίδιας έδρας.
Τα σημεία του καθενός από τους οκτώ κύβους είναι «εσωτερικά» μόνο για «μας».
Για ένα τετραδιάστατο άτομο κάθε σημείο κάθε κυβικής «έδρας» του τετραδιάστατου κύβου είναι άμεσα ορατό απ' αυτόν καθώς τον περιστρέφει στα τετραδιάστατα δάχτυλα του!
Ακόμη πιο δυσνόητο είναι το γενονός ότι ένας τετραδιάστατος κύβος μπορεί να περιστρέφεται γύρω από οποιαδήποτε «έδρα» του. Οι οκτώ κύβοι του τετραδιάστατου μοναδιαίου υπερκύβου είναι ενωμένοι στις έδρες τους.
Κάθε ένα από τα εικοσιτέσσερα τετράγωνα του τετραδιάστατου υπερκύβου αποτελεί στην πραγματικότητα κοινό τμήμα δύο κύβων, όπως μπορεί εύκολα να επαληθευτεί, μελετώντας τα τρισδιάστατα πρότυπα.
ΥΠΕΡΚΥΒΟΣ ΠΕΝΤΕ ΔΙΑΣΤΑΣΕΩΝ
Με τον ίδιο τρόπο μπορούμε να φανταστούμε ένα υπερκύβο σε χώρο πέντε διαστάσεων.
Ο υπερκύβος αυτός θα έχει τα εξής «στοιχεία»:
(Στοιχεία ενός τετραδιάστατου σχήματος εννοούμε τον αριθμό των κορυφών, ακμών, εδρών, κύβων, και τετραδιαστάτων κύβων που περιλαμβάνει διαστάσεις από 1 μέχρι 4).
Ο υπερκύβος στο χώρο των πέντε διαστάσεων θα έχει 32 σημεία-κορυφές, 80 γραμμές-ακμές, 80 τετράγωνα-έδρες, 40 κύβους, 10 τετραδιάστατους υπερκύβους και 1 υπερκύβο χώρου πέντε διαστάσεων.
Οι μαθηματικοί ανέπτυξαν ένα αλγόριθμο με βάση τον οποίο μπορούμε να υπολογίσουμε τους «κύβους» σε χώρους ν διαστάσεων.
ΛΙΓΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΙΣΤΟΡΙΑ ΤΗΣ ΕΝΝΟΙΑΣ
«ΤΕΤΑΡΤΗ ΔΙΑΣΤΑΣΗ»
Ο Ευκλείδης στα “Στοιχεία του” δεν αντιµετωπίζει την πιθανότητα µιας επί πλέον διάστασης. Όµως, η 4η διάσταση, ως γεωµετρική δυνατότητα εισάγεται µε το πέµπτο αξίωµα του Ευκλείδη, γνωστό ως αξίωµα των παραλλήλων.
Ο Πτολεµαίος, στο έργο του “Επί της απόστασης”, παρουσίασε µια µαθηµατική απόδειξη της ανυπαρξίας επιπλέον διαστάσεων.
Ο Γερµανός µαθηµατικός August Möbius το 1843, πρότεινε την ύπαρξη µιας 4ης-διάστασης ώστε “δεξιά” αντικείµενα του 3-διάστατου κόσµου µας, να µπορούν να µετασχηµατιστούν στα συµµετρικά τους “αριστερά” και αντιστρόφως.
August Möbius
Η ΛΩΡΙΔΑ ΤΟΥ ΜΕΜΠΙΟΥΣ
Ο Edwin Abbott στο µυθιστόρηµα του “Flatland, a Romance of Many Dimensions” (1880), µας προκαλεί να φανταστούµε πως θα ήταν να δούµε τον κόσµο µας από την τέταρτη διάσταση. Ο ήρωας, ένα τετράγωνο, που ζει σ’ έναν 2-διάστατο χώρο, την επιπεδοχώρα, δέχεται την επίσκεψη µιας σφαίρας από τον 3-διάστατο χώρο, η οποία αναλαµβάνει να τον µυήσει στον θαυµαστό κόσµο της 3ης διάστασης.
H πρώτη απόπειρα δηµιουργίας µιας µη Eυκλείδειας Γεωµετρίας επιχειρήθηκε από τον Janos Bolyai. Για τον Bolyai ο ορισµός της παραλληλίας και οι ιδιότητες των παραλλήλων δίνονται ανεξάρτητα από το 5ο αίτηµα..
“Aπό το τίποτα δηµιούργησα ένα καινούργιο, παράξενο σύµπαν”.
Την µαθηµατική θεµελίωση του πολυδιάστατου χώρου έκανε ο Bernhard Riemann µε το έργο του: "Επί των υποθέσεων που βρίσκονται στις βάσεις της γεωµετρίας". Είναι ενδιαφέρον να αναφέρουµε ότι στη γεωµετρία Riemann, εκτός του πέµπτου ευκλείδειου αξιώµατος, πρέπει να αρθεί και η ισχύς του πρώτου ευκελείδειου αξιώµατος, βάσει του οποίου υπάρχει µόνο µία ευθεία που συνδέει δύο σηµεία. Ένας χώρος Riemann δεν είναι πάντα οµογενής ως προς τις ιδιότητές του, δηλαδή δεν είναι πάντα σταθερής καµπυλότητας. Αυτό σηµαίνει ότι ένα σχήµα δεν µπορεί να κινηθεί µέσα σ’ένα χώρο Riemann, χωρίς να µεταβληθούν οι αποστάσεις µεταξύ των σηµείων του. Στη γεωµετρία αυτή, από ένα σηµείο εκτός µιας ευθείας δεν είναι δυνατόν να αχθεί καµία ευθεία παράλληλη προς αυτήν.
Οι ιδέες του Riemann σχετικά µε τους ν-διάστατους χώρους αρχικά αντιµετωπίστηκαν µε δισταγµό και επιφύλαξη. Σταδιακά όµως έγιναν αποδεκτές από την επιστηµονική και λαϊκή συνείδηση, κατά το τελευταίο µισό του 19ου αιώνα. Σ’αυτή την εξέλιξη συνέβαλλαν αποφασιστικά οι William Clifford και Hermann von Helmholtz, οι οποίοι δηµόσια συζητούσαν την ιδέα ενός σύµπαντος µε περισσότερες από τρεις διαστάσεις. Ο William Clifford επέκτεινε την ιδέα του Riemann ότι στην κυρτότητα του χώρου οφείλονται οι ηλεκτρικές και µαγνητικές δυνάµεις. Για τον Clifford οι χώροι υψηλότερων διαστάσεων (από τον µαθηµατικό τοµέα) και ο ηλεκτροµαγνη-τισµός (από τον τοµέα της φυσικής) ήταν ένα και το αυτό. Ο Riemann και ο Clifford κατόρθωσαν να επιτύχουν µια εικόνα της φύσης που εδράζεται στην ιδέα ότι η δύναµη δεν είναι τίποτε άλλο από κύρτωση του χώρου (έχει δηλαδή µια καθαρά γεωµετρική ερµηνεία) και ότι ο ηλεκτροµαγνητισµός µπορεί να εξηγηθεί βάσει της προσέγγισης αυτής, ως "ταλάντωση" σε µια επιπλέον χωρική διάσταση.
Σηµαντικό ρόλο στη εκλαΐκευση της 4ης διάστασης, διαδραµάτισε ο µαθηµατικός Charles Howard Hinton, ο οποίος στο έργο του “The Fourth Dimension” (1904), προσπάθησε να παρουσιάσει "την πρώτη µη γεωµετρική απεικόνιση της 4ης διάστασης” µε τη βοήθεια κατασκευών όπως το tesseract, που αποτελεί το ξετύλιγµα ενός 4διάστατου υπερκύβου στον 3-διάστατο χώρο. Για τον Hinton, αν κάποιος ανέπτυσσε "το νοητικό εσωτερικό του µάτι", θα αντιλαµβανόταν µια 4διάστατη πραγµατικότητα. Για τον Hinton, η 4διάστατη εµπειρία, "πρέπει να συνδέεται µε τη εµπειρία του χρόνου στον 3-διάστατο χώρο". Ο Hinton συνέταξε ένα πλήρες σύστηµα 4-διάστατης σκέψης στη µηχανική, την επιστήµη και την τέχνη και θεµελίωσε µια "Φιλοσοφία του υπερχώρου», η οποία είχει επίδραση στους χώρους που µελετούν το µυστικιστικό και υπερβατικό στοιχείο. Ο Hinton υποστήριξε ότι εάν ένα ον είχε τη δυνατότητα να κινείται ανεµπόδιστα στην τέταρτη διάσταση, τότε θα µπορούσε να εµφανίζεται και να εξαφανίζεται κατά βούληση.
Το 1783, ο Εμμανουήλ Καντ έγραψε: «Το γεγονός ότι υπάρχει παντού χώρος (ο οποίος δεν είναι το όριο κάποιου άλλου χώρου) που έχει τρεις διαστάσεις και ότι ο χώρος σε γενικές γραμμές δεν μπορεί να έχει περισσότερες διαστάσεις, βασίζεται στην άποψη ότι δεν είναι περισσότερες από τρεις γραμμές αυτές που
μπορούν να τέμνονται με ορθές γωνίες σε ένα σημείο. Αυτή η πρόταση δεν μπορεί να αποδειχθεί από τις έννοιες καθόλου, αλλά στηρίζεται άμεσα στη διαίσθηση και μάλιστα σε καθαρή διαίσθηση διότι είναι εκ των προτέρων
αποδεδειγμένα ορισμένες».
«Ο χώρος έχει τέσσερις διαστάσεις», είναι μια μικρή ιστορία που δημοσιεύθηκε το 1846 από τον Γερμανό φιλόσοφο και πειραματικό ψυχολόγο Gustav Fechner (με το ψευδώνυμο Dr Mises). Ο πρωταγωνιστής τηςιστορίας
είναι μια σκιά που γνωρίζει άλλες σκιές και είναι σε θέση να επικοινωνεί μαζί τους, αλλά είναι παγιδευμένος σε μια δισδιάστατη επιφάνεια. Σύμφωνα με τον Fechner, ο άνθρωπος σκιά θα συλλαμβάνει την τρίτη διάσταση ως ένα χρόνο. Η ιστορία φέρει μεγάλη ομοιότητα με την «Αλληγορία του Σπηλαίου», που
παρουσιάζεται στον Πλάτωνα και η οποία γράφτηκε το 380 π.Χ. περίπου.
Το 1898 ο Σιμόν Νιούκομπ έγραψε ένα άρθρο για το Δελτίο της Αμερικανικής Μαθηματικής Εταιρείας με τίτλο «Η Φιλοσοφία του Υπερχώρου». Το 1983 η Linda Dalrymple Henderson στη διατριβή της για την "τέταρτη διάσταση στην τέχνη κατά τις αρχές του εικοστού αιώνα" επινόησε τον φιλοσοφικό όρο
"Hyperspace" (Υπερχώρος ή Υπερδιάστημα), ο οποίος χρησιμοποιείται για να περιγράψει εκείνες τις συγγραφές που χρησιμοποιούν υψηλότερες διαστάσεις για μεταφυσική και φιλοσοφική έρευνα.
ΔΙΗΓΗΜΑΤΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΤΕΤΑΡΤΗ ΔΙΑΣΤΑΣΗ
1. Ο ΚΑΤΤΝΕΡ
«Χόρευαν και γελούσαν τα Μπορογκόβια», 1943, Χένρυ Κάτνερ. «Μimsy were the Borogoves».
Στο σπουδαίο διήγημα επιστημονικής φαντασίας του Κάττνερ, τα παιδιά του καθηγητή Παραντάιν βρίσκουν ένα συρμάτινο πρότυπο ενός τετραδιάστατου
υπερκύβου με χρωματιστές χάντρες, και γλυστρούν κατά μήκος των συρμάτων με παράδοξους τρόπους. Είναι ένας άβακας, παιχνίδι που ξεφύτρωσε στον κόσμο μας με τις ενέργειες ενός επιστήμονα τεσσάρων διαστάσεων στην προσπάθεια του να επισκευάσει μια χρονομηχανή. Ο άβακας αυτός διδάσκει στα παιδιά να σκέφτονται σε τέσσερεις διαστάσεις. Με τη βοήθεια κάποιων κρυπτογραφημένων συμβουλών, όλα τα παιδιά μαζί καταφέρνουν να αποδράσουν από το χώρο των τριών διαστάσεων.
Τα παιδιά χανόντουσαν. Σκόρπιζαν σαν τον πυκνό καπνό στον αέρα, σαν φιγούρες μπροστά σε παραμορφωτικό καθρέφτη. Χέρι με χέρι πήγαιναν, σε κατεύθυνση που ο Παραντάιν δεν μπορούσε να καταλάβει.
Η διεύθυνση που ο Παραντάιν, ο Καθηγητής της φιλοσοφίας, δεν μπορούσε να αντιληφθεί, είναι η κάθετη διεύθυνση σε κάθε μια από τις τρεις συντεταγμένες του χώρου. Προεκτείνεται στο χώρο των τεσσάρων
διαστάσεων με τον ίδιο τρόπο που ένα πιόνι του σκακιού εκτείνεται προς τα πάνω στο χώρο των τριών διαστάσεων έχοντας τον άξονα του κάθετο στις χ και ψ συντεταγμένες του επιπέδου της σκακιέρας.
2. Ο ΧΑΙΝΛΑΙΝ
«Και έχτισε ένα αλλόκοτο σπίτι» 1941, Ρόμπερτ Χάινλάιν. « And He Built a Crooked House» Robert Anson Heinlein (θέμα: καταπληκτική εισαγωγή στα Μαθηματικά και την Φυσική της τετάρτης διαστάσεως - Τετρακτύς)
Ο ξεδιπλωμένος υπερκύβος παρέχει το μαγικό επινόημα, που χρησιμοποίησε ο Χάινλάιν στην ιστορία του «Και αυτός έχτισε ένα αλλόκοτο σπίτι». Ένας αρχιτέκτονας από την Καλιφόρνια χτίζει ένα σπίτι με τη μορφή ενός αναπτυγμένου υπερκύβου. Όταν τραντάζει το σπίτι σεισμός, αυτό διπλώνεται και σχηματίζει έναν κοίλο υπερκύβο.
Δίνει την εντύπωση απλού κύβου, γιατί βρίσκεται στο χώρο μας, στηριγμένος σε μιακυβική του «έδρα» όπως θα φαινόταν στους ανθρώπους του δισδιάστατου χώρου —αν υπήρχαν— σαν τετράγωνο ένας χαρτονένιος κύβος πάνω στο επίπεδο.-
ΖΗΝΩΝ ΠΑΠΑΖΑΧΟΣ
Δεν υπάρχουν σχόλια :
Δημοσίευση σχολίου
Σχόλια που δεν συνάδουν με το περιεχόμενο της ανάρτησης, όπως και σχόλια υβριστικά προς τους αρθρογράφους, προσβλητικά σχόλια προς άλλους αναγνώστες σχολιαστές και λεκτικές επιθέσεις προς το ιστολόγιο θα διαγράφονται.