ΤΑ ΠΡΟΧΩΡΗΜΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΟΥ 21ου ΑΙΩΝΑ ΣΤΗΝ ΟΛΥΜΠΙΑ. ΘΕΩΡΙΑ ΚΟΜΒΩΝ, ΤΟΠΟΛΟΓΙΑ ΧΑΜΗΛΩΝ ΔΙΑΣΤΑΣΕΩΝ ΚΑΙ ΤΟΠΟΛΟΓΙΚΕΣ ΘΕΩΡΙΕΣ ΚΒΑΝΤΙΚΟΥ ΠΕΔΙΟΥ. ΣΗΜΑΝΤΙΚΗ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΣΥΜΜΕΤΟΧΗ. Ο ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ ΘΑ ΗΤΑΝ ΥΠΕΡΗΦΑΝΟΣ ΓΙΑ ΤΟΥΣ ΑΠΟΓΟΝΟΥΣ ΤΟΥ.

Έλληνες επιστήμονες παρουσίασαν σημαντικές εργασίες σε διεθνές συνέδριο για την Θεωρία των Κόμβων που έγινε στην Αρχαία Ολυμπία.

 Η Δρ. Σοφία Λαμπροπούλου καθηγήτρια της Σχολής Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών, Τομέας Μαθηματικών του ΕΜΠ και Προέδρος της Διεθνούς Οργανωτικής Επιτροπής συνεδρίου “Knots in Hellas 2016”.

Ελληνική σφραγίδα στα μαθηματικά του 21ου αιώνα

 

Για ένα άγνωστο για το ευρύ κοινό αλλά εξαιρετικά ενδιαφέροντα τομέα των μαθηματικών διοργανώθηκε μεγάλο διεθνές συνέδριο στην Αρχαία Ολυμπία  . Η λεγόμενη Θεωρία των Κόμβων αφορά ανώτερα μαθηματικά με πολλές και πολυδιάστατες εφαρμογές. Στο συνέδριο κεντρικό ρόλο είχαν έλληνες επιστήμονες που παρουσίασαν νέες ιδέες και εφαρμογές στον περίπλοκο κόσμο των μαθηματικών κόμβων.

Το συνέδριο

Το Συνέδριο “Knots (= Κόμβοι)  in Hellas 2016” έλαβε χώρα στην Διεθνή Ολυμπιακή Ακαδημία στην Αρχαία Ολυμπία (ΔΟΑ) από 17 έως 23 Ιουλίου 2016.

Διοργανώθηκε από το Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο (ΕΜΠ) με την συνδιοργάνωση της Περιφέρειας Δυτικής Ελλάδας και της Ελληνικής Μαθηματικής Εταιρίας. Είχε την υποστήριξη της Ευρωπαϊκής Μαθηματικής Εταιρίας, του National Science Foundation (NSF) των ΗΠΑ, του Δήμου Αρχαίας Ολυμπίας, του Δήμου Ζαχάρως, του ΕΒΕΑ κ.ά. Τέλεσε δε υπό την αιγίδα του Υπουργείου Παιδείας και του Υπουργείου Πολιτισμού. Το Συνέδριο εστίασε επιστημονικά στον κλάδο των Μαθηματικών “Θεωρία Κόμβων, Τοπολογία Χαμηλών Διαστάσεων και Εφαρμογές”.

Συμμετείχαν δε περί τους 140 διεθνείς ερευνητές από 25 χώρες, από διδακτορικούς φοιτητές μέχρι τους πιο έμπειρους ερευνητές.

Το πρόγραμμα του Συνεδρίου περιλάμβανε κεντρικές εισηγήσεις από κορυφαίους επιστήμονες, συνεδρίες ανακοινώσεων έρευνας αιχμής και παρουσιάσεις επιστημονικών posters.  Παρουσιάστηκαν συνολικά 94 ερευνητικές ομιλίες από μαθηματικούς, φυσικούς και μοριακούς βιολόγους, καλύπτοντας ένα ευρύ φάσμα επιστημονικών πεδίων σχετικών με την Θεωρία Κόμβων και την Τοπολογία Χαμηλών Διαστάσεων και δίνοντας έμφαση, πέρα από τις θεωρητικές επιστημονικές περιοχές, στις σημαντικές εφαρμογές σε άλλες επιστήμες, όπως Φυσική, Χημεία, Βιολογία και Ιατρική.

Συγκεκριμένα, το Συνέδριο εστίασε σε τοπολογικές αναλλοίωτες κόμβων και κρίκων, ομάδες πλεξίδων, τοπολογικές θεωρίες κβαντικού πεδίου, πρότυπα skein και άλγεβρες κόμβων, σε ομολογίες quandles, σε υπερβολικούς κόμβους και γεωμετρικές δομές των τρισδιάστατων πολλαπλοτήτων, στην τοπολογική χειρουργική, σε φυσικούς κόμβους και στις εφαρμογές τους σε ροές υγρών, στην αστροφυσική, σε πολυμερή και βιοφυσική, στους μηχανισμούς DNA και στη δομή και λειτουργία των πρωτεϊνών.

Οι κόμβοι

Η Θεωρία Κόμβων είναι ένας κλάδος της Τοπολογίας Χαμηλών Διαστάσεων που έχει ως βασικό στόχο την ταξινόμηση των κόμβων και των κρίκων, ένα από τα μεγάλα ανοικτά προβλήματα των μαθηματικών. Ένας κόμβος είναι μία κλειστή καμπύλη στο χώρο, χωρίς αυτοτομές. Ένας κρίκος είναι πολλές τέτοιες καμπύλες στο χώρο, που επιπλέον μπορούν να διαπλέκονται και μεταξύ τους. Οι κόμβοι απαντώνται με φυσικό τρόπο στην ύφανση και στην χρήση των σχοινιών από την αρχαιότητα μέχρι και σήμερα και οι γνωστοί ναυτικοί κόμποι είναι τέτοια παραδείγματα. Από μαθηματικής σκοπιάς, ένας κόμβος είναι μία εμφύτευση του κύκλου στον τρισδιάστατο Ευκλείδιο χώρο και ένας κρίκος είναι μία εμφύτευση περισσότερων κύκλων στο χώρο. Δύο κόμβοι (ή κρίκοι) θεωρούνται ισοδύναμοι όταν είναι εφικτό να παραμορφώσουμε τον έναν στον άλλον χωρίς να χρειαστεί να “κόψουμε”.

Δεν υπάρχει αλγόριθμος που να καθορίζει αν δύο τυχαίοι κόμβοι είναι ισοδύναμοι ή όχι. Για να αποφανθούμε σε ένα τέτοιο ερώτημα χρησιμοποιούμε τις αναλλοίωτες κόμβων, συναρτήσεις που αντιστοιχούν κόμβους και κρίκους σε αριθμούς, πολυώνυμα, κλπ, έτσι ώστε ισοδύναμοι κόμβοι ή κρίκοι να παίρνουν την ίδια τιμή. Παραδείγματα αποτελούν: ο αριθμός ελαχίστων διασταυρώσεων σε ένα διάγραμμα, ο αριθμός περιέλιξης Gauss, το πολυώνυμο Jones, το πολυώνυμο Kauffman bracket, οι κβαντικές αναλλοίωτες, κ.ά. Υπάρχουν διάφορες μέθοδοι κατασκευής αναλλοίωτων κόμβων, πολλές από τις οποίες χρησιμοποιούν εργαλεία και από άλλους τομείς των μαθηματικών. Για παράδειγμα, το πολυώνυμο Jones κατασκευάστηκε το 1984 μέσω των ομάδων πλεξίδων του Artin και των αλγεβρών Hecke. Για την εργασία του αυτή ο Β.Φ.Ρ. Τζόουνς έλαβε το 1989 το βραβείο Fields (αντίστοιχο του βραβείου Nobel για μαθηματικούς).

Κόμβοι 3D

Ο Καθηγητής Β.Φ.Ρ. Τζόουνς του Πανεπιστημίου Vanderbilt των ΗΠΑ παρουσίασε στο συνέδριο μία νέα αναπαράσταση κόμβων, χρησιμοποιώντας όχι την ομάδα πλεξίδων αλλά την ομάδα Thompson. Μέσω των αποτελεσμάτων του έθεσε τα θεμέλια για την κατασκευή νέων σημαντικών αναλλοίωτων κόμβων και τρισδιάστατων πολλαπλοτήτων από την ομάδα Thompson. Ο καθηγητής Κ.Ανταμς του Williams College των ΗΠΑ (συγγραφέας μεταξύ άλλων του “Zombies and Calculus”) παρουσίασε νέα αποτελέσματα στην θεωρία τρισδιάστατων πολλαπλοτήτων.

Ο Καθηγητής Λ.Χ.Κάουφμαν του Πανεπιστημίου του Ιλινόι στο Σικάγο ανασκόπησε την θεωρία του των εικονικών κόμβων, η οποία έχει χρησιμοποιηθεί και στην μελέτη των πρωτεϊνών (ανακοίνωση Α.Τέιλορ του Πανεπιστημίου του Bristol).

Η καθηγήτρια Σ. Λαμπροπούλου του ΕΜΠ παρουσίασε πρόσφατα αποτελέσματά της με τους Κ. Καρβούνη του Πανεπιστημίου της Ζυρίχης, Μ. Χλουβεράκη του Πανεπιστημίου των Βερσαλλιών, Tζ. Τζουγιουμάγια του Πανεπιστημίου Valparaiso της Χιλής, Δ. Γκουνταρούλη του ΕΜΠ, Α. Κοντογιώργη του ΕΚΠΑ και Ι. Διαμαντή του Διεθνούς Πανεπιστημίου του Πεκίνου πάνω σε νέες αναλλοίωτες κρίκων, οι οποίες αποτελούν γενίκευση του πολυωνύμου Jones 2-μεταβλητών.

Οι αναλλοίωτες αυτές μπορούν να εφαρμοστούν στην κατασκευή νέων αναλλοίωτων τρισδιάστατων πολλαπλοτήτων, παρεμφερών των αναλλοίωτων Witten, στην κατασκευή νέων μοντέλων στατιστικής μηχανικής, παρεμφερών του μοντέλου Potts για το λιώσιμο του πάγου, στην μελέτη των τοπολογικών περιπλέξεων πολυμερών, κ.α.

Η Θεωρία Κόμβων σχετίζεται επίσης με την θεωρία γραφημάτων και με την θεωρία των τρισδιάστατων πολλαπλοτήτων μέσω της τοπολογικής χειρουργικής. Έχει δε ευρείες προεκτάσεις σε άλλες επιστήμες, όπως στην Φυσική, στην Βιολογία και στην Χημεία και μπορεί να εφαρμοστεί σε οποιοδήποτε πρόβλημα όπου εμφανίζονται τοπολογικές διαπλοκές.

Στη σύγχρονη φυσική έχει προταθεί ότι πεπλεγμένες δομές απαντώνται στα κβαντικά πεδία στο πυρηνικό επίπεδο, ενώ κόμβοι έχουν βρεθεί και στις θεωρίες κβαντικής βαρύτητας και στην θεωρία χορδών.

Επίσης, κόμβοι παρατηρούνται σε τυρβώσεις ροών.

Κόμβοι DNA

Στη μοριακή βιολογία, η θεωρία κόμβων έχει βρει σημαντικές εφαρμογές στις φυσικές λειτουργίες του DNA και στην δομή των πρωτεϊνών, με προεκτάσεις στην έρευνα για τον καρκίνο. Πιο συγκεκριμένα, η δομή της διπλής έλικας του DNA, το μεγάλο μήκος και η συμπάκτωσή του, καθώς και οι κανονικές διεργασίες νουκλεϊκών οξέων παράγουν έναν αριθμό τοπολογικών προβλημάτων, όπως η θετική και αρνητική υπερελίκωση του DNA και η περίπλεξή του (ένα μόριο DNA με ενωμένα άκρα είναι συνήθως ένας μπλεγμένος κόμπος). Αυτά καλείται το κύτταρο να τα επιλύσει κατά την διάρκεια των φυσικών λειτουργιών του (αντιγραφή, αναδιάταξη, μίτωση, κλπ), για την επιβίωσή του. Για παράδειγμα, το επίπεδο υπερελίκωσης του DNA καθορίζει διεργασίες όπως η αντιγραφή και η μεταγραφή του, όπου οι τοπολογικές περιπλέξεις πρέπει να αφαιρεθούν έτσι ώστε η διπλή έλικα να μπορέσει να ανοίξει και να διαχωριστούν τα χρωμοσώματα κατά την διάρκεια της μίτωσης.

Ας φανταστούμε ότι, ακόμα και αν η διπλή έλικα έκανε απλώς μισή στροφή, όπως η ταινία του Μαίμπιους (Möbius), αν σκιστεί στη μέση δημιουργεί ήδη έναν κόμπο, τον απλό, που πρέπει να λυθεί.

Τα ένζυμα που είναι υπεύθυνα για την λύση των περιπλέξεων λέγονται τοποϊσομεράσεις και είναι κρίσιμα για την συντήρηση της ίδιας της ζωής. Οι τοποϊσομεράσεις τύπου Ι ρυθμίζουν την υπερελίκωση του DNA δημιουργώντας παροδικές διασπάσεις σε μία κλωστή του γενετικού υλικού. Οι τοποϊσομεράσεις τύπου ΙΙ ρυθμίζουν την υπερελίκωση του DNA και αφαιρούν κόμβους και περιπλέξεις δημιουργώντας παροδικές διασπάσεις και των δύο κλωστών στην διπλή έλικα του DNA. Η θεωρία κόμβων μπορεί να μοντελοποιήσει τον μηχανισμό δράσης αυτών των ενζύμων (και το έχει κάνει σε συγκεκριμένα πειράματα αναδιάταξης). Ο καθηγητής Ν.Οσεροφ του Πανεπιστημίου Vanderbilt παρουσίασε στο συνέδριο το πώς οι τοποϊσομεράσεις αναγνωρίζουν την τοπολογία του DNA, την τρέχουσα επιστημονική δραστηριότητα στην συγκεκριμένη περιοχή, καθώς και την πρόσφατη ερευνητική του εργασία στο θέμα, ιδιαίτερα σε σχέση με το επίπεδο υπερελίκωσης του DNA.

Επίσης, κόμβοι και slipknots έχουν αναγνωριστεί στο alpha carbon backbone των πρωτεϊνών, υποδηλώνοντας δομικές και λειτουργικές συνέπειες. Στο συνέδριο συζητήθηκαν πιθανές βιολογικές λειτουργίες των πρωτεϊνών με δομή σύνθετου βρόγχου (lasso). Μία τέτοια ταξινόμηση παρουσιάστηκε από τον καθηγητή Π.Νταμπρόβσκι του Πανεπιστημίου της Βαρσοβίας. Αν κανείς προσθέσει την παρουσία του cysteine bonding, νέα φαινόμενα περίπλεξης εμφανίζονται στην βιοφυσική των πρωτεϊνών, καθώς και χωρικά περιπλεγμένα γραφήματα. Τα αποτελέσματα αυτά δείχνουν ότι μία σωστή κατανόηση της βιολογίας απαιτεί εργαλεία από την θεωρία κόμβων και ότι η ίδια η θεωρία κόμβων μπορεί να εμπνευστεί από την ανακάλυψη εξωτικών δομών στα βιοπολυμερή.

Ένα άλλο παράδειγμα εφαρμογών της θεωρίας κόμβων είναι η μελέτη τοπολογικών περιπλέξεων σε τήγματα πολυμερικών αλυσίδων. Η ποσοτικοποίηση των περιπλέξεων αυτών μέσω τοπολογικών μέτρων της θεωρίας κόμβων μπορεί να προσφέρει κρίσιμες πληροφορίες για τις φυσικές ιδιότητες των πολυμερών. Σε άλλες περιοχές της χημείας, η κατασκευή πεπλεγμένων συνθετικών μορίων για την παρασκευή νέων υλικών είναι επίσης ένα εν εξελίξει ερευνητικό αντικείμενο που αντλεί σημαντικές πληροφορίες από την θεωρία κόμβων. Στην ανακοίνωσή του, ο Καθηγητής Κ. Mιλέτ του Πανεπιστημίου της California, Santa Barbara συνόψισε πρόσφατα ερευνητικά αποτελέσματα στον επιστημονικό αυτό κλάδο.

Κόμβοι φωτός

Στην περιοχή της φυσικής τώρα, το ενδεχόμενο ότι τα πεδία του φωτός μπορεί να περιλαμβάνουν κόμβους είναι μία ερώτηση που έχει τεθεί από την υπόθεση του λόρδου Kelvin ότι τα άτομα είναι πεπλεγμένες τυρβώσεις μέσα στον αιθέρα. Στο συνέδριο παρουσιάστηκαν αποτελέσματα της ερευνητικής ομάδας του Καθηγητή M. Ντένις του Πανεπιστημίου του Bristol, σύμφωνα με τα οποία ένα φυσικό πλαίσιο για την δημιουργία κόμβων στο φως είναι ως οπτικές τυρβώσεις, οι οποίες είναι δεσμικές γραμμές έντασης που απαντώνται φυσικά σε διαδιδόμενα κύματα ίδιας συχνότητας και με σταθερή διαφορά φάσης. Τα διαδιδόμενα πεδία φωτός μπορούν να δομηθούν χρησιμοποιώντας οπτικά ολογράμματα για την δημιουργία πεδίων οπτικών τυρβώσεων με μία ευρεία γκάμα διαφορετικών κόμβων, τα οποία μπορούν να χρησιμοποιηθούν για την εμφύτευση κόμβων σε άλλα φυσικά συστήματα, όπως τα κβαντικά υγρά. Τέλος, η φυσική σκέδαση του φωτός από μη λείες επιφάνειες έχει μία απροσδόκητα σύνθετη πεπλεγμένη δομή τυρβώσεως. Αυτό περιγράφεται με υπολογιστικές προσομοιώσεις του κ. Ντένις και συνεργατών του, στις οποίες εμφανίζονται κομβοειδείς τυρβώσεις.

Μένοντας στην περιοχή της φυσικής, ο καθηγητής Ρ.Λ. Ρίκα του Πανεπιστημίου Bicocca του Μιλάνου παρουσίασε την έρευνά του με τον καθηγητή Ξιν Λιού του Τεχνολογικού Πανεπιστημίου του Πεκίνου σχετικά με την ανασύνδεση και τον αναδιάταξη γειτονικών κλωστών σε κόμβους τυρβώσεων. Οι τυρβώσεις κόμβων υποβάλλονται σε μία φθίνουσα διεργασία, κατά την διάρκεια της οποίας η τοπολογική πολυπλοκότητα μειώνεται μέσω σταδιακής αποσύνδεσης (unlinking). Χρησιμοποιώντας το πολυώνυμο Jones 2-μεταβλητών, βρέθηκε ότι αυτή η φθίνουσα διεργασία ακολουθεί ένα μονοπάτι ανιχνεύσιμο από μία μοναδική και μονοτονικώς φθίνουσα ακολουθία αριθμητικών τιμών.

Η ελίκωση (αναλλοίωτη Gauss) είναι μία ποσότητα που καθορίζει ουσιαστικά την εξέλιξη των μαγνητικών πεδίων σε πολλά ουράνια σώματα. Η αυτοδιέγερση μεγάλης κλίμακας μαγνητικών πεδίων (dynamo) ελέγχεται από την ελίκωση των γραμμών τυρβώσεων. Στην σύγχρονη αστρονομία που βασίζεται στην παρατήρηση έχουν γίνει πολλές προσπάθειες για να παρατηρηθούν επιτυχώς αυτές οι ελικώσεις. Σύμφωνα με την έρευνα του Καθηγητή Ντ. Σοκόλοφ του Πανεπιστημίου Moscow State, ο ρόλος των αναλλοίωτων ανώτερης ελίκωσης στην δράση των dynamo παραμένει ακόμα ασαφής, ωστόσο μπορεί να είναι σημαντικές ως καθοριστικός παράγοντας για την μείωση του μαγνητικού πεδίου.

Τέλος, η τοπολογική χειρουργική είναι μία θεωρητική τεχνική για την κατασκευή νέων τοπολογικών χώρων από ήδη γνωστούς. Όμως, στις διαστάσεις 1, 2 και 3 εμφανίζεται σε πάρα πολλές φυσικές διεργασίες τόσο μικρής όσο και μεγάλης κλίμακας. Για παράδειγμα, στην επανασύνδεση κοσμικών μαγνητικών γραμμών, στην αναδιάταξη του DNA, στο σχηματισμό τυφώνων, στην μίτωση του κυττάρου και στον σχηματισμό μελανών οπών. Οι παρατηρήσεις αυτές είναι αποτέλεσμα πολυετούς ερευνητικής εργασίας της Σ. Λαμπροπούλου και του Σ. Αντωνίου του ΕΜΠ. Στο συνέδριο παρουσίασαν πολλά τέτοια παραδείγματα, καθώς και την σύνδεση ενός τύπου χειρουργικής με ένα δυναμικό σύστημα, προτείνοντας έτσι την μοντελοποίηση κάποιων φυσικών φαινομένων μέσω τοπολογίας.

Το συνέδριο

Για το πολύ ενδιαφέρον συνέδριο η Δρ. Σοφία Λαμπροπούλου καθηγήτρια της Σχολής Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών, Τομέας Μαθηματικών του ΕΜΠ και Προέδρος της Διεθνούς Οργανωτικής Επιτροπής συνεδρίου “Knots in Hellas 2016”  είπε:

Η προετοιμασία για το διεθνές συνέδριο Knots in Hellas 2016 ξεκίνησε πριν ενάμισυ χρόνο. Ομολογώ ότι ήταν επίπονη και χρονοβόρα, προκειμένου να γίνει τόσο ο επιστημονικός όσο και ο διοργανωτικός συντονισμός. Ήταν δε και ιδιαίτερα αγχώδης, λόγω της αναζήτησης επαρκών οικονομικών πόρων. Το αποτέλεσμα όμως δικαίωσε πλήρως όλες τις προσπάθειές μας με τον καλύτερο δυνατό τρόπο, όπως αυτό διαπιστώθηκε τόσο κατά την διάρκεια του εξαήμερου συνεδρίου, όσο και από τα δεκάδες συγκινητικά και εγκωμιαστικά σχόλια που έλαβα από συναδέλφους συνέδρους. Το πρόγραμμα του συνεδρίου, αν και εντατικό, είχε μία πολύ καλή ισορροπία ανάμεσα σε ερευνητικές ανακοινώσεις θεωρητικού περιεχομένου και σε πολύ ενδιαφέρουσες εφαρμογές. Έτσι αποδείχθηκε, για μια ακόμα φορά, η εξωστρέφεια των μαθηματικών και των ανθρώπων που ασχολούνται με αυτά, ως μέσο κοινής επικοινωνίας, επιστημονικής σκέψης και διεπιστημονικής συνεργασίας, προάγοντας τη γνώση και την επιστήμη σε τομείς που άπτονται της καλυτέρευσης της ζωης του ανθρώπου. Είχε, επίσης, ισορροπία ως προς συμπληρωματικές δραστηριότητες και χρόνο, που παρείχαν μία μοναδική ευκαιρία για να συναντηθούν και να αλληλεπιδράσουν επιστήμονες από όλες τις ηπείρους, από λιγότερο και περισσότερο αναπτυγμένες χώρες, και να αναδειχθούν νέες διεπιστημονικές συνεργασίες.

Και όλα αυτά στο ιδεώδες περιβάλλον της Διεθνούς Ολυμπιακής Ακαδημίας, κάτω από την σκιά του Κρόνειου λόφου και δίπλα στο Αρχαίο Στάδιο και το μνημείο του Pierre de Coubertin.

Είναι γεγονός ότι η ανάθεση της διοργάνωσης αυτού του συνεδρίου αποτελεί ιδιαίτερη τιμή για εμένα και με την ευκαιρία αυτή θα ήθελα να ευχαριστήσω θερμά όλους τους συνδιοργανωτές, όλους τους φορείς που το στήριξαν και όλους όσους συνέβαλαν στην επιτυχή διοργάνωσή του. Η πρόκληση των επόμενων μηνών είναι η σύνθεση των επιστημονικών ανακοινώσεων του συνεδρίου για τη δημοσίευσή τους σε Τόμο Πρακτικών από τον διεθνούς κύρους και φήμης εκδοτικό οίκο Springer. Αναμένεται να αποτελέσει σημείο βιβλιογραφικής αναφοράς, απ’ όπου και θα προκύψουν εκατοντάδες ετεροαναφορών καθώς και ερεθίσματα για νέα ερευνητικά μονοπάτια.

Ήταν  όντως οι έλληνες επιστήμονες εκ ων πρωταγωνιστών του συνεδρίου;

Αισθάνομαι ιδιαίτερα περήφανη για το υψηλό ερευνητικό επίπεδο των εργασιών που παρουσίασαν Έλληνες επιστήμονες. Γεγονός που αποδεικνύει για μια ακόμα φορά την εκτίμηση που χαίρει η χώρα μας στο διεθνή επιστημονικό περίγυρο.

Τρανή απόδειξη αυτού, η σωρεία προτάσεων που έγιναν προς εμένα και μέλη της ερευνητικής μου ομάδας για νέες συνεργασίες και συμμετοχή σε διεθνή ερευνητικά προγράμματα, πολλαπλασιάζοντας τις ευκαιρίες για τους φοιτητές μου και τους συνεργάτες μου στο διεθνή στίβο. Αυτό είναι και η μεγαλύτερη δικαίωση ενός πανεπιστημιακού δασκάλου.

Για περισσότερες λεπτομέρειες μπορεί κανείς να επισκεφθεί την ιστοσελίδα του Συνεδρίου: www.math.ntua.gr/~so…

ΖΗΝΩΝ  ΠΑΠΑΖΑΧΟΣ

Υ.Γ.

ΘΕΩΡΙΑ  ΚΟΜΒΩΝ

Οι αρχαιολόγοι έχουν ανακαλύψει ότι το δέσιμο των κόμπων χρονολογείται από τα προϊστορικά χρόνια. Εκτός από τις χρήσεις του ως καταγραφή πληροφοριών και δέσιμο αντικειμένων μαζί, οι κόμβοι ενδιαφέρουν τους ανθρώπους για την αισθητική τους και τον πνευματικό συμβολισμό τους. Οι κόμβοι εμφανίζονται σε διάφορες μορφές της κινέζικης τέχνης που χρονολογούνται πριν από αρκετούς αιώνες π.Χ. Οι ατελείωτοι κόμποι εμφανίστηκαν στο θιβετιανό βουδισμό, ενώ τα Μπορομέο δακτυλίδια εμφανίστηκαν σε διάφορους πολιτισμούς, και αποτυπώνουν τη δύναμη της ενότητας. Οι Κέλτες μοναχοί δημιούργησαν Book of Kells πάμπολλες ολόκληρες σελίδες με πολύπλοκους Κέλτικους κόμπους.

Η μαθηματική θεωρία των κόμβων αναπτύχθηκε για πρώτη φορά το 1771 από τον Alexandre-Théophile Vandermonde που επισήμανε ρητά τη σημασία των τοπολογικών χαρακτηριστικών καθώς συζητούσε για τις ιδιότητες των κόμβων που σχετίζονται με τη γεωμετρική τους θέση. Η μαθηματική μελέτη των κόμβων άρχισε το 19ου αιώνα με τον Gauss, που όρισε τη σύνδεση των ολοκληρωμάτων (Silver 2006). Στη δεκαετία του 1860, η θεωρία του Lord Kelvin ότι τα άτομα, αποτελούν κόμβοι μέσα σε αιθέρα οδήγησε τον Peter Guthrie Tait στο να δημιουργήσει την πρώτη ολοκληρωμένη ταξινόμηση των κόμβων σε καταλόγους. Το 1885, δημοσιεύτηκε ένας κατάλογος κόμβων με πάνω από δέκα διελεύσεις, και έγινε γνωστός ως Tait conjectures. Αυτή η καταγραφή κινητοποίησε τους πρώιμους θεωρητικούς ερευνητές των κόμβων, αλλά τελικά η θεωρία των κόμβων έγινε μέρος της αναδυόμενης τοπολογίας.

Οι εξής μαθηματικοί που ασχολούνταν με την τοπολογία στις αρχές του 20ου αιώνα —Max Dehn, J. W. Alexander, και άλλοι— μελέτησαν τους κόμβους από την οπτική γωνία των ομάδων κόμβων και από τη θεωρία της αναλλοίωτης [[ομολογίας (μαθηματική)|ομολογία], όπως Alexander polynomial. Αυτή πρέπει να ήταν η κύρια προσέγγιση της θεωρίας των κόμβων μέχρι τη στιγμή που μία σειρά ανακαλύψεων τη μετατρέπουν σε θέμα.

Στο τέλος της δεκαετίας του 1970 ο William Thurston εισήγαγε την υπερβολική γεωμετρία στη μελέτη των κόμβων με το hyperbolization theorem. Πολλοί κόμβοι υπερβολικοί κόμβοι αποδείχθηκαν, με τη χρήση της γεωμετρίας στον ορισμό των νέων και ισχυρότερων αμετάβλητων κόμβων . Η ανακάλυψη Jones polynomial του Vaughan Jones το 1984 (Sossinsky 2002, σελίδες 71–89), και οι μετέπειτα εισφορές των Edward Witten, Maxim Kontsevich, και άλλων, αποκάλυψε μία βαθιά σύνδεση μεταξύ της θεωρία των κόμβων και άλλων μαθηματικών μεθόδων στη στατιστική μηχανική και στη κβαντική θεωρία πεδίου. Μία πληθώρα σταθερών κόμβων έχει εφευρεθεί από τότε, που άρχισαν να χρησιμοποιούν εξελιγμένα εργαλεία όπως οι κβαντικές ομάδες και Floer homology.

Τις τελευταίες δεκαετίες του 20ου αιώνα, οι επιστήμονες άρχισαν να ενδιαφέρονται για τη μελέτη των θεωρία φυσικών κόμβων με σκοπό να κατανοήσουν το φαινόμενο των κόμβων στο DNA και σε άλλα πολυμερή. Η θεωρία των κόμβων μπορεί να χρησιμοποιηθεί για να αποδειχτεί αν ένα μόριο είναι χειρικό ("μπορείς να το χειριστείς") ή όχι (Simon 1986). Χορδές και με τα δύο άκρα σταθερά , έχουν χρησιμοποιηθεί αποτελεσματικά στη μελέτη της δράσης της τοποισομέρισης στο DNA (Flapan 2000). 

Η θεωρία των κόμβων είναι ζωτικής σημασίας για την κατασκευή κβαντικών υπολογιστών,μέσω του μοντέλου τοπολογικού κβαντικού υπολογισμού (Collins 2006).

Στην τοπολογία, η θεωρία κόμβων είναι ο κλάδος που μελετά τους κόμβους. Παρόλο που η αρχική έμπνευση για την έννοια του κόμβου προέρχεται από τους κόμπους που απαντώνται στην καθημερινή ζωή, όπως αυτοί που δημιουργούνται με σχοινιά και κορδόνια, ο μαθηματικός κόμβος διαφέρει στο ότι τα άκρα του είναι ενωμένα και δεν μπορεί να "λυθεί". Σε μαθηματική γλώσσα, ο κόμβος είναι μια ενσωμάτωση ενός κύκλου στον τρισδιάστατο Ευκλείδειο χώρο, R3,   η  εμβύθιση ενός κύκλου σε έναν Ευκλείδειο χώρο τριών διαστάσεων,  (στην τοπολογία, ο όρος "κύκλος" δεν αναφέρεται στην κλασική γεωμετρική έννοια, αλλά σε όλους τους ομοιομορφισμούς του κλασικού σχήματος). Δύο μαθηματικοί κόμβοι είναι ισοδύναμοι αν ο ένας μπορεί να μετασχηματιστεί στον άλλον μέσω μιας παραμόρφωσης του R3 στον εαυτό του (γνωστή ως πλήρης ισοτοπία). Αυτοί οι μετασχηματισμοί αντιστοιχούν σε χειρισμούς μιας  χορδής δεμένης σε κόμπο, χωρίς η χορδή να κόβεται ή να περνά μέσα από τον εαυτό της.

Οι κόμβοι μπορούν να περιγραφούν με διάφορους τρόπους αλλά, ανάλογα με τη μέθοδο, κάθε κόμβος μπορεί να αντιπροσωπεύεται από περισσότερες από μία περιγραφές. Για παράδειγμα, μια συνήθης μέθοδος περιγραφής ενός κόμβου είναι ένα γραμμικό διάγραμμα που ονομάζεται διάγραμμα κόμβου. Σε ένα διάγραμμα κόμβου κάθε κύκλος μπορεί να απεικονισθεί με πολλούς διαφορετικούς τρόπους. Συνεπώς, ένα θεμελιώδες πρόβλημα της θεωρίας κόμβων είναι η απόδειξη ότι δύο διαφορετικές περιγραφές αντιπροσωπεύουν τον ίδιο κόμβο. Υπάρχει πλήρης αλγοριθμική λύση σε αυτό το πρόβλημα, με άγνωστη υπολογιστική πολυπλοκότητα. Στην πράξη, οι κόμβοι συχνά διακρίνονται με χρήση της αναλλοίωτης κόμβου, μιας "ποσότητας" που παραμένει σταθερή όταν υπολογίζεται για διαφορετικές περιγραφές ενός κόμβου. Σημαντικές αναλλοίωτες είναι τα πολυώνυμα κόμβων, οι ομάδες κόμβων και οι υπερβολικές αναλλοίωτες.

Το αρχικό κίνητρο για τους μαθηματικούς που θεμελίωσαν τη θεωρία κόμβων ήταν η δημιουργία ενός πίνακα κόμβων και συνδέσμων, δηλαδή κόμβων αποτελούμενων από πολλά μεμονωμένα στοιχεία πεπλεγμένα μεταξύ τους.

 Από την εποχή που ξεκίνησε η ανάπτυξη της θεωρίας κόμβων, τον 19ο αιώνα, έως σήμερα έχουν πινακογραφηθεί πάνω από έξι δισεκατομμύρια κόμβοι και σύνδεσμοι.

Για να κερδίσουν περαιτέρω γνώσεις, οι μαθηματικοί έχουν ερμηνεύσει τον όρο κόμβο με διαφορετικές έννοιες. Οι κόμβοι μπορούν να θεωρηθούν και σε άλλους  τρισδιάστατους χώρους και σε άλλα αντικείμενα μπορούν να χρησιμοποιηθούν όπως οι κύκλοι.  Μεγαλύτερων διαστάσεων κόμβοι είναι ν-διαστάσεων σφαίρα σε μ-Διάστασης ευκλείδειο χώρο. 

 

Ένας πίνακας πρώτων κόμβων μέχρι εφτά διασταυρώσεων. Οι κόμβοι σημειώνονται με τον συμβολισμό Alexander–Briggs

Αλγεβρική τοπολογία

Η αλγεβρική τοπολογία είναι ένας κλάδος των μαθηματικών ο οποίος χρησιμοποιεί εργαλεία από την αφηρημένη άλγεβρα για τη μελέτη τοπολογικών χώρων. Βασικός στόχος της είναι η εύρεση αναλλοίωτων αλγεβρικών στοιχείων τα οποία ταξινομούν τους τοπολογικούς χώρους μέχρι και τον ομοιομορφισμό, αν και τα περισσότερα στοιχεία συνήθως ταξινομούν μέχρι και την ισοδυναμία ομοτοπίας.

Παρόλο που η αλγεβρική τοπολογία χρησιμοποιεί κυρίως την άλγεβρα για την μελέτη των τοπολογικών προβλημάτων, είναι μερικές φορές δυνατή και η χρησιμοποίηση της τοπολογίας. Παραδείγματος χάρη, η αλγεβρική τοπολογία επιτρέπει την εύκολη απόδειξη ότι οποιαδήποτε υποομάδα μιας ελεύθερης ομάδας αποτελεί με την σειρά της μια ελεύθερη ομάδα.  

Η θεωρία κόμβων είναι κλάδος της τοπολογίας χαμηλών διαστάσεων που μελετά την ταξινόμηση των κόμβων και των κρίκων. Η βασική έμπνευση της θεωρίας κόμβων δεν είναι τίποτα άλλο παρά ο κόμπος που συναντάμε στην καθημερινότητά μας από τους κόμπους που κάνουμε για να δέσουμε τα παπούτσια μας με τα κορδόνια μέχρι τους κόμπους στους κάδους που βλέπουμε στα καράβια όταν πάμε διακοπές στα νησιά του Αιγαίου το καλοκαίρι. Βέβαια τους κόμβους μπορούμε να τους συναντήσουμε πέρα από την καθημερινότητα και τα μαθηματικά και σε άλλες επιστήμες όπως στη βιολογία ιδιαίτερα στην αναδιάταξη του DNA, στην στατιστική μηχανική που μελετά μεγάλα συστήματα μορίων, στη χημεία και στη θεωρία γράφων. Η μοναδική ανεπιτυχής εφαρμογή της θεωρίας ήταν στην κοσμολογία.